力系的简化

2-1 力系的分类

汇交力系

定义：力系中各力作用线汇交于一点，则该力系称为汇交力系。汇交力系有时也称为共点力系。

如果一个汇交力系的各力的作用线都位于同一平面内，则该汇交力系称为平面汇交力系，否则称为空间汇交力系。

汇交力系案例

力偶系

定义：作用在物体上的一群力偶称为力偶系（couple system）。

若力偶系中的各力偶都位于同一平面内，则为平面力偶系，否则为空间力偶系。

任意力系

定义：若力系中各力的作用线既不汇交于一点，又不全部相互平行，则该力系称为任意力系。

如各力作用线还位于同一平面内，则称为平面任意力系，简称平面力系；否则称为空间任意力系，简称空间力系。

2-2 力的平移定理（重点难点）

附加力偶： $M = F\cdot a = M_B(\overrightarrow{F}_A)$

作用在刚体上的力，可以等效地平移到刚体上任一指定点，但必须在该力与指定点所确定的平面内附加一个力偶，附加力偶的力偶矩等于原力对指定点的力矩。

$\overrightarrow{\boldsymbol{M}}$ , $\overrightarrow{\boldsymbol{F}}_B$ 组成的力系常称为共面的一个力和一个力偶。

2-3 力系的简化

一、汇交力系的简化

汇交力系合成的几何法

\overrightarrow{\boldsymbol{F}}_{R1} = \overrightarrow{\boldsymbol{F}}_{1} + \overrightarrow{\boldsymbol{F}}_{2}

\overrightarrow{\boldsymbol{F}}_{R2} = \overrightarrow{\boldsymbol{F}}_{R1} + \overrightarrow{\boldsymbol{F}}_{3} = \sum_{i=1}^{3}\overrightarrow{F}_i

汇交力系合成的解析计算

\overrightarrow{\boldsymbol{F}}_i = F_{ix}\overrightarrow{\boldsymbol{i}} + F_{iy}\overrightarrow{\boldsymbol{j}} + F_{iz}\overrightarrow{\boldsymbol{k}}

汇交力系合成的解析法

\overrightarrow{\boldsymbol{F}}_R = \left(\sum F_{ix}\right)\overrightarrow{\boldsymbol{i}} + \left(\sum F_{iy}\right)\overrightarrow{\boldsymbol{j}} + \left(\sum F_{iz}\right)\overrightarrow{\boldsymbol{k}}

矢量投影定理（重点难点）：

\left.\begin{split} F_{Rx} = \sum F_{ix} F_{Ry} = \sum F_{iy} F_{Rz} = \sum F_{iz} \end{split}\right\}

\left.\begin{split} F_{R} = \sqrt{F_{Rx}^2+F_{Ry}^2+ F_{Rz}^2} \\ \cos \left(\overrightarrow{\boldsymbol{F}}_R,x\right)=\frac{F_{Rx}}{F_R} \\ \cos \left(\overrightarrow{\boldsymbol{F}}_R,y\right)=\frac{F_{Ry}}{F_R} \\ \cos \left(\overrightarrow{\boldsymbol{F}}_R,z\right)=\frac{F_{Rz}}{F_R} \end{split}\right\}

如果所研究的力系是平面汇交力系，取力系所在平面为平面，则该力系的合力的大小和方向只需将 $F_{Rz}=0$ 代入式中便可求得。

二、力偶系的简化

三、任意力系的简化

1、平面任意力系向作用面内一点简化·主矢和主矩

原力系的主矢量

\overrightarrow{\boldsymbol{F}_R} = \sum \overrightarrow{\boldsymbol{F}_i^\prime} + \overrightarrow{\boldsymbol{F}_R}

原力系对O点的主矩

M_O = \sum M_0(\overrightarrow{\boldsymbol{F}_i^\prime})

主矢与简化中心无关，而主矩一般与简化中心有关。主矢量和主矩的解析计算：

\begin{split} F_{Rx} = \sum F^\prime_{ix} = \sum F_{ix} F_{Ry} = \sum F^\prime_{iy} = \sum F_{iy} \end{split}

主矢大小： $F_R = \sqrt{ F_{Rx}^2 + F_{Ry}^2 }$ 主矢方向： $\cos \left(\overrightarrow{\boldsymbol{F}}_R,\overrightarrow{\boldsymbol{i}}\right)=\sum F_{ix}/F_R, \cos \left(\overrightarrow{\boldsymbol{F}}_R,\overrightarrow{\boldsymbol{i}}\right)=\sum F_{iy}/F_R$ ，作用在简化中心上。

简化结果讨论

主矢	主矩	最终结果	说明
$\overrightarrow{\boldsymbol{F}_R} \neq 0$	$M_O = 0$	合力	合力作用线过简化中心
$\overrightarrow{\boldsymbol{F}_R} \neq 0$	$M_O \neq 0$	合力	合力作用线距简化中心距离？
$\overrightarrow{\boldsymbol{F}_R} = 0$	$M_O \neq 0$	合力	与简化中心的位置无关
$\overrightarrow{\boldsymbol{F}_R} = 0$	$M_O = 0$	平衡	与简化中心的位置无关

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